Vanille-Option Was ist eine Vanille-Option Eine Vanille-Option ist ein Finanzinstrument, das dem Inhaber das Recht, aber nicht die Verpflichtung gibt, einen zugrunde liegenden Vermögenswert, eine Sicherheit oder eine Währung zu einem vorgegebenen Preis innerhalb eines vorgegebenen Zeitrahmens zu kaufen oder zu verkaufen. Eine Vanille-Option ist eine normale Call - oder Put-Option, die keine speziellen oder ungewöhnlichen Features hat. Es kann für standardisierte Größen und Fälligkeiten sein und an einer Börse wie dem Chicago Board Options Exchange gehandelt oder maßgeschneidert und über den Ladentisch gehandelt werden. BREAKING DOWN Vanilla Option Einzelpersonen, Unternehmen und institutionelle Investoren können die Vielseitigkeit der Möglichkeiten nutzen, um eine Investition zu entwerfen, die am besten ihrem Bedarf entspricht, eine Exposition abzusichern oder über die Preisbewegung eines Finanzinstruments zu spekulieren. Wenn eine Vanille-Option nicht die richtige Passform ist, können sie exotische Optionen wie Barrier-Optionen erkunden. Asiatische Optionen und digitale Optionen. Exotische Optionen haben komplexere Funktionen und werden in der Regel über den Ladentisch gehandelt, die sie zu komplexen Strukturen kombiniert werden können, um die Nettokosten zu reduzieren oder die Hebelwirkung zu erhöhen. Anrufe und Puts Es gibt zwei Arten von Vanille-Optionen: Anrufe und Puts. Der Besitzer eines Anrufs hat das Recht, aber nicht die Verpflichtung, das Basisinstrument zum Ausübungspreis zu kaufen, der Besitzer eines Puts hat das Recht, aber nicht die Verpflichtung, das Instrument zum Ausübungspreis zu verkaufen. Der Verkäufer der Option wird manchmal als sein Schriftsteller verkauft die Option schafft eine Verpflichtung zum Kauf oder Verkauf des Instruments, wenn die Option von seinem Besitzer ausgeübt wird. Jede Option hat einen Ausübungspreis, den man als Ziel sehen kann. Ist der Ausübungspreis besser als der Preis auf dem Markt bei Fälligkeit, so gilt die Option im Geld und kann von seinem Besitzer ausgeübt werden. Eine europäische Stil Option erfordert die Option in das Geld auf das Verfalldatum eine American Style Option ausgeübt werden kann, wenn es in das Geld am oder vor dem Verfallsdatum ist. Die Prämie ist der Preis bezahlt, um die Option zu besitzen. Die Höhe der Prämie beruht darauf, wie nahe der Streik auf den aktuellen Terminpreis für das Verfallsdatum, die Volatilität des Marktes und die Optionsreife liegt. Höhere Volatilität und eine längere Laufzeit erhöhen die Prämie. Eine Option gewinnt einen intrinsischen Wert, wenn der Marktpreis den Ausübungspreis annimmt oder übertrifft. Der Besitzer der Option kann es vor dem Verfall für seinen inneren Wert verkaufen. Exotische Optionen Es gibt viele Arten von exotischen Optionen. Barrier-Optionen beinhalten ein Niveau, das, wenn es auf dem Markt vor dem Verfall erreicht wird, die Möglichkeit zu beginnen beginnt zu existieren oder aufzuhören, zu existieren. Digitale Optionen zahlen den Besitzer, wenn ein bestimmtes Preisniveau getroffen wird. Eine asiatische Optionsauszahlung hängt vom durchschnittlichen gehandelten Preis des Basiswerts während der Laufzeit der Option ab. Optionen Strukturen kombinieren Vanille und exotische Optionen, um maßgeschneiderte Ergebnisse zu schaffen. Wurde-Optionen Explained Aktualisiert: 14. Juli 2016 um 8:48 Uhr Eine Währungsoption ist eine Art von Devisenderivat Vertrag, der seinem Inhaber das Recht verleiht, aber nicht die Verpflichtung, sich in einer Devisentransaktion zu engagieren. Um mehr über Forex Trading zu erfahren, besuchen Sie forex für Dummies hier. Im Allgemeinen wird der Kauf einer solchen Option es einem Händler oder Hedger erlauben, eine Währung gegen einen anderen in einem bestimmten Betrag zu erwerben oder zu einem bestimmten Zeitpunkt für eine Vorlaufkosten zu erwerben. Dieses Recht wird von dem Optionsverkäufer im Gegenzug für eine Vorlaufkosten, die als Optionsprämie bekannt sind, gewährt. In Bezug auf ihr Handelsvolumen bieten die Devisenoptionen derzeit rund 5 bis 10 des Gesamtumsatzes am Devisenmarkt an. Währung Option Terminologie Vielmehr wird ein spezieller Jargon im Forex-Markt verwendet, um eine Devisenoptionsbegriffe anzugeben und zu verweisen. Einige der häufigsten Optionen bezogenen Begriffe sind unten definiert: Übung - Die Handlung, die von der Option Käufer von Benachrichtigung des Verkäufers, dass sie beabsichtigen, auf die Optionen zugrunde liegenden Forex-Vertrag zu liefern. Verfalldatum - Der letzte Tag, an dem die Option ausgeübt werden kann. Lieferdatum - Datum, an dem die Währungen ausgetauscht werden, wenn die Option ausgeübt wird. Call Option - Verwendet das Recht, eine Währung zu kaufen. Put Option - Verwendet das Recht, eine Währung zu verkaufen. Premium - Die Up-Front-Kosten beim Kauf einer Option. Basispreis - Der Kurs, zu dem die Währungen ausgetauscht werden, wenn die Option ausgeübt wird. Währungsoption Preisfaktoren Der Preis der Währungsoptionen wird durch die Basisspezifikationen des Ausübungspreises, des Verfallsdatums, des Stils und der Annahme oder der Angabe der Währungen bestimmt. Darüber hinaus hängt ein Optionswert auch von mehreren marktbestimmten Faktoren ab. Im Einzelnen sind diese marktgetriebenen Parameter: Der vorherrschende Kassakurs Interbank Einlagenzinssatz für jede der Währungen Die derzeitige implizite Volatilität für das Verfalldatum Implizite Volatilität in Währungsoptionen Die implizite Volatilitätsmenge ist für Optionsmärkte einzigartig und bezieht sich auf den annualisierten Standard Abweichung der Wechselkursbewegungen, die der Markt während der Optionen Lebensdauer erwartet. Option Market Maker schätzen diese wichtigsten Preisfaktor und in der Regel ausdrücken es in Prozent, Kauf Optionen, wenn die Volatilität niedrig ist und verkaufen Optionen, wenn die Volatilität hoch ist. Währung Option Trading Beispiel Wenn Trading Devisen Optionen, müssen Sie zunächst im Auge behalten, dass die Zeit wirklich Geld ist und dass jeden Tag, den Sie besitzen eine Option wird wahrscheinlich kostet Sie in Bezug auf Zeitverfall. Darüber hinaus ist dieser Zeitverfall größer und stellt daher mehr ein Thema mit kurzen veralteten Optionen als mit langwierigen Optionen. In Bezug auf ein Beispiel, betrachten die Situation eines technischen Forex Trader, der ein symmetrisches Dreieck auf den Tagesdiagrammen in USDJPY beobachtet. Das Dreieck bildete sich auch über mehrere Wochen, mit einer gut definierten internen Wellenstruktur, die dem Händler eine beträchtliche Sicherheit verleiht, dass ein Ausbruch unmittelbar bevorsteht, obwohl sie sich nicht sicher sind, in welche Richtung sie auftreten wird. Auch die Volatilität - ein Schlüsselelement, das die Preisbildung von Devisenoptionen beeinflusst - hat sich in USDJPY während des Konsolidierungszeitraums verringert. Dies lässt USDJPY Währungsoptionen relativ preiswert zu kaufen. Um Währungsoptionen zu nutzen, um diese Situation zu nutzen, könnte der Trader gleichzeitig eine USD CallJPY Put Option mit einem Ausübungspreis kaufen, der auf der Ebene der Dreieckmuster obere absteigende Trendlinie platziert wurde, sowie eine USD PutJPY Call Option, die auf der Ebene getroffen wurde Der Dreiecke unten aufsteigende Trendlinie. Auf diese Weise, wenn der Ausbruch auftritt und die Volatilität in USDJPY wieder steigt, kann der Händler die Option ausverkaufen, die nicht von weiteren Bewegungen in Richtung des Ausbruchs profitiert, während er die andere Option hält, um von der erwarteten gemessenen Bewegung des Charts weiter zu profitieren Muster. Verwendungen von Währungsoptionen Währung Optionen haben eine wachsende Reputation als hilfreiche Werkzeuge für Hecken zu verwalten oder zu versichern gegen Währungsrisiken genossen. Zum Beispiel könnte eine US-Gesellschaft, die auf einen möglichen Zustrom von Pfund Sterling wegen eines ausstehenden Verkaufs einer U. K.-Tochtergesellschaft absichern könnte, ein Pfund Sterling putU. S. Dollaranruf Währung Option Hedging-Beispiel In Bezug auf eine einfache Währungs-Hedging-Strategie mit Optionen, betrachten die Situation eines Bergbau-Waren-Exporteur in Australien, die eine erwartete, wenn auch noch nicht sicher, die Lieferung von Bergbau-Produkte für die weitere Verfeinerung in die Vereinigten Staaten gesendet werden soll Wo sie für US-Dollar verkauft werden. Sie könnten eine Aussie Dollar Call Option kaufen. Dollar-Put-Option in Höhe des erwarteten Wertes dieser Sendung, für die sie dann eine Prämie im Voraus zahlen würden. Darüber hinaus könnte das gewählte Fälligkeitsdatum entsprechen, wenn die Sendung sicher voraussichtlich vollständig bezahlt wurde und der Ausübungspreis entweder auf dem aktuellen Markt oder auf einem Niveau für den AUDUSD-Wechselkurs liegen könnte, in dem die Sendung für das Unternehmen unrentabel wäre . Alternativ, um auf die Kosten der Prämie zu sparen, konnte der Exporteur nur eine Option kaufen, wenn irgendeine Ungewissheit über die Sendung und sein Bestimmungsort wahrscheinlich entfernt wurde und seine Größe erwartet wurde, um praktisch sicher zu sein. In diesem Fall könnten sie dann die Option mit einem Terminkontrakt ersetzen, um U. S. Dollars zu verkaufen und australische Dollar in der jetzt bekannten Größe des Deals zu kaufen. In jedem Fall, wenn die Bergbau-Produzenten AUD CallUSD Put Option ausläuft oder verkauft wird, sollten alle Gewinne, die auf ihm erreicht werden, dazu beitragen, ungünstige Änderungen des Preises des zugrunde liegenden AUDUSD-Wechselkurses auszugleichen. Mehr Verwendungen von Devisenoptionen Forex-Optionen machen auch ein nützliches spekulatives Fahrzeug für institutionelle strategische Händler, um interessante Gewinn - und Verlustprofile zu erhalten, vor allem beim Handel auf mittelfristigen Marktansichten. Auch persönliche Forex-Händler, die sich in kleineren Größen beschäftigen, können Währungsoptionen an Futures-Börsen wie dem Chicago IMM, sowie durch einige Retail-Forex-Brokerage handeln. Einige Einzelhandelsmakler bieten auch STOP - oder Single Payment Option Trading-Produkte an, die eine Prämie kosten, aber eine Barauszahlung anbieten, wenn der Markt zum Ausübungspreis handelt. Dies ähnelt einer binären oder digitalen exotischen Währungsoption. Währung Option Styles und Übung Choices Regelmäßige Währungsoptionen kommen in zwei grundlegende Stile, die sich unterscheiden, wenn der Inhaber wählen können, um sie zu benutzen oder auszuüben. Solche Optionen sind auch oft als einfache Vanille oder nur Vanille-Währungsoptionen bekannt, um sie von den exotischeren Option Sorten zu unterscheiden, die in einem späteren Abschnitt dieses Kurses abgedeckt sind. Die häufigste Art, die im Over-the-Counter - oder OTC-Forex-Markt gehandelt wird, ist die European-Style Option. Diese Art der Option kann nur bis zum Ablaufdatum bis zu einer bestimmten Cutoff-Zeit ausgeübt werden, in der Regel 3pm Tokyo, London oder New York Zeit. Dennoch ist der häufigste Stil für Optionen auf Devisen-Futures, wie die, die an der Chicago IMM-Börse gehandelt werden, als amerikanischer Stil bekannt. Diese Art der Option kann jederzeit bis einschließlich des Verfalldatums ausgeübt werden. Diese Flexibilität der amerikanischen Stil Optionen können zusätzliche Wert auf ihre Prämie im Verhältnis zu europäischen Stil Optionen, die manchmal auch als Ameriplus. Dennoch ist die frühe Übung der American Style-Optionen in der Regel nur sinnvoll für tief in die Geld-Call-Optionen auf die hohe Zins-Währung, und der Verkauf der Option stattdessen wird in der Regel die bessere Wahl in den meisten Fällen. Risikobewertung: Der Handel mit Devisen am Marge trägt ein hohes Risiko und ist möglicherweise nicht für alle Anleger geeignet. Die Möglichkeit besteht darin, dass Sie mehr als Ihre ursprüngliche Einzahlung verlieren könnten. Der hohe Grad an Hebelwirkung kann sowohl gegen Sie als auch für Sie arbeiten. Prüfung und Absicherung von FX Plain Vanilla Optionen Transkription 1 Preisgestaltung und Absicherung von FX Plain Vanilla Optionen Eine empirische Studie über die Absicherung Leistung einer dynamischen Black-Scholes Delta Hedge mit Aktualisierung Implizite Volatilität unter der Annahme von Heston und Black-Scholes, die in der Interpolationsextrapolation der Optionspreise zugrunde liegen. Jannik Noslashrgaard MSc Finanzen Thesis Supervisor: Elisa Nicolato Abteilung für Wirtschaftswissenschaften Aarhus School of Business, Universität Aarhus August 2011 2 c Jannik Noslashrgaard 2011 Die Arbeit wurde mit Computer Modern 12pt geschrieben Typografie und Typografie wird vom Autor mit LA TEX gemacht Der Autor Ich möchte mich bei Ihnen bedanken: Mein Vorgesetzter Elisa Nicolato, Forscherin an der Aarhus School of Business in der Finanzforschungsgruppe Aarhus, Dänemark für Beratung. Ein Dank an Matthias Thul, Doktorand in Finanzen an der australischen School of Business, New South Wales, Sydney, Australien für die Beantwortung von Fragen. Ich danke den Leuten, die mir geholfen haben, Zugang zu den Bloomberg-Terminals an der Universität Aarhus sowie den Mitarbeitern des Bloomberg Service Desk zu bekommen, um meine Fragen zu beantworten. Schließlich danke Nordea für den Zugang zur Nordea Markets Plattform, Nordea Analytics, von wo ich zusätzliche Daten gesammelt habe. 3 Ich möchte die Gelegenheit nutzen, meinen Eltern für ihre bedingungslose Unterstützung während meiner Studienjahre zu danken. 4 Abstract Die Arbeit zeigt Beweise gegen die Black-Scholes-Annahme eines Diffusionsprozesses für den Log-Asset-Preis, der stationäre und unabhängige normale Inkremente aufweist, was zu einer log-Normalverteilung der Asset-Renditen führt, indem man eine Zeitreihe von Spot-Raten auf dem EURUSD berücksichtigt Und die USDJPY für einen Zeitraum der letzten Jahre. Beobachtungen von Verteilungen mit hohem Peakness - und Quatsch-Tailquot sowie Beobachtungen von Volatilitäts-Clustering werden durch empirische Hinweise auf Heterosedastizität unterstützt, was bedeutet, dass die Volatilität der Renditen nicht über die Zeit konstant ist und der Autokorrelation. Um das Heston-Modell und das Black-Scholes-Modell auf die Marktpreise auf Plain-Vanille-Call-Optionen zu kalibrieren, beschäftigt sich die Arbeit mit den Devisen-spezifischen Zitierungskonventionen und berücksichtigt den Unterschied zwischen dem EURUSD und dem USDJPY. Ein Datensatz von 371 letzten Handelstagen wird aus veröffentlichten Zitaten auf Bloomberg gesammelt, wobei jedes Modell zu einem Satz von Optionspreisen an jedem Tag kalibriert wird, um eine Gesamtgüte der Passmaßnahme zu erhalten, die die überlegene Leistung des Heston-Modells zeigt. Bei beiden zugrunde liegenden FX-Paaren ist die Flüchtigkeitsfläche während des gesamten betrachteten Zeitraums negativ geschoben. Basierend auf den Kalibrierungen wird ein umfangreiches Hedging-Experiment eingerichtet, bei dem an jedem Tag eine Anzahl von Plain-Vanille-Call-Optionen mit unterschiedlichen Laufzeiten und Streiks verkauft wird. Eine dynamische BS-Delta-Hedge mit der Aktualisierung der impliziten Volatilität, die in jedem der Modelle simuliert wird, führt zu einer besseren Absicherungsleistung, wenn die zugrunde liegende Dynamik dem Heston-Modell folgt. Darüber hinaus beobachten wir, dass der Hedging-Fehler mit den zugrunde liegenden Renditen korreliert ist. 5 Inhalt Inhalt Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis i iii v 1 Einleitung 1 2 Problemerklärung Forschungsansatz Abgrenzung Der FX-Markt FX-Zinssatz FX-Terminkontrakt FX-Optionen Das Black-Scholes-Modell Geometrische Brownsche Bewegung Die Black-Scholes-Gleichung Die Garman-Kohlhagen-Formel Simulation Des Black-Scholes-Modells Empirische Fakten Die Verteilung der FX-Rückkehr Das Heston-Modell Der Prozess Die Lösung Simulation des Heston-Modells Marktdaten 29 i 6 7.1 Zitieren von Konventionen Abrufen der impliziten Volatilität Datenbeschreibung 35 9 Kalibrierung der Modelle Aufbau der impliziten Volatilität des Marktes Oberfläche Kalibrierung des Heston-Modells Kalibrierung des Black-Scholes-Modells Zielsetzung Funktion Kalibrierergebnisse Empirische Studie über die Absicherungsleistungen Größe der Studie Streik Level Das Hedging-Portfolio Ergebnisse Fazit 55 Bibliographie 57 A Abrufen des Ausübungspreises entsprechend einer Prämie inklusive Delta 60 B Aufbau des Marktes implizite Volatilitätsfläche 63 C Kalibrierung des Heston-Modells 76 D Kalibrierung des Black-Scholes-Modells 82 E Simulation des Heston-Modells 85 F Simulation des Black-Scholes-Modells 89 G Keine Hedge 92 H Dynamische BS-Delta-Hecke mit Aktualisierung Imp. Vol Aus dem Heston Modell 97 I Dynamische BS Delta Hedge mit Aktualisierung imp. Vol Aus dem Black-Scholes-Modell 109 ii 7 Abbildungsverzeichnis 5.1 Empirische Stichprobenhäufigkeit für EURUSD Empirische Stichprobenhäufigkeit für USDJPY QQ-Plot für EURED QQ-Plot für USDJPY Tägliche Log-Renditen für EURUSD Tägliche Log-Renditen für USDJPY Autokorrelation für EURUSD Autokorrelation für USDJPY Rolling historische Volatilität Für EURUSD Rolling historische Volatilität für USDJPY Eine Woche gleitenden Durchschnitt von Kappa Eine Woche gleitenden Durchschnitt von Theta Eine Woche gleitenden Durchschnitt von Eta Eine Woche gleitenden Durchschnitt von Rho Eine Woche gleitenden Durchschnitt von vt Call Preise 1M auf EURUSD 14 Call Preise 1Y auf EURUSD 14 Imp . Vol 1M auf EURUSD 14 Imp. Vol 1Y auf EURUSD 14 Call Preise 1M auf EURUSD 61 Call Preise 1Y auf EURUSD 61 Imp. Vol 1M auf EURUSD 61 Imp. Vol 1Y auf EURUSD 61 Call Preise 1M auf USDJPY 14 Rufen Sie die Preise 1Y auf USDJPY 14 Imp. Vol 1M auf USDJPY 14 Imp. Vol 1Y auf USDJPY 14 Call Preise 1M auf USDJPY 61 Call Preise 1Y auf USDJPY 61 iii 8 9.20 Imp. Vol 1M auf USDJPY 61 Imp. Vol 1Y auf USDJPY 61 Entwicklung in EURUSD-Kassakurs Entwicklung in USDJPY-Kassakurs iv 9 Liste der Tabellen 5.1 Jarque-Bera-Test auf Normalität Levene-Test auf Gleichheit der Abweichungen Premium eingeschlossen Delta Umwandlung eines Premium Inbegriffen Delta to Strike Vierteljährliche Mittel - und Standardabweichung von Die Güte der Passform von Heston-Parametern Vierteljährliche Mittelwerte und Standardabweichung der Güte der Anpassung des Black-Scholes-Parameters Heston-Parameterwerte auf 142010 und 612010 auf EURUSD Heston-Parameterwerte auf 142010 und 612010 auf USDJPY Black-Scholes-Parameterwerte auf 142010 und 612010 Auf EURUSD und USDJPY Anzahl der untersuchten Optionen Anzahl der Optionsabläufe in Quartalsperioden Delta-Ebene im Durchschnitt kurzgeschlossener EURUSD-Call-Optionen bei Einleitung Delta-Ebene im Durchschnitt kurzgeschlossene USDJPY-Call-Optionen bei Einleitung Anzahl der EURUSD-Call-Optionen, die in-the-money auslaufen Von USDJPY-Call-Optionen, die in-the-money auslaufen Der mittlere Gewinn - und Verlustabschluss und die Abweichung des Hedging-Fehlers mit Black-Scholes und Heston-Pricing v 10 1 Einleitung In einer Finanzwelt, die seit dem Beginn des Black Monday im Jahr 1987 die Einführung in die Finanzwelt erlebt hat Der extremen Marktbewegungen haben zu einer Überdenkung der Annahmen hinter der Preisbildung von Finanzinstrumenten wie Optionen auf Aktien und Devisen geführt. In der Vergangenheit haben sich Marktteilnehmer und Praktiker mehr auf das Black-Scholes-Modell und ihre Annahme über Asset-Renditen gestützt, während heute die Marktpreise von Optionen nicht die von dem Black-Scholes-Modell vorhergesagten widerspiegeln. Stattdessen ist eine Familie von stochastischen Volatilitätsmodellen entstanden, wobei das Heston-Modell am bekanntesten ist, mit realistischeren Annahmen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Vermögenswerte heute. Dennoch wird das Black-Scholes-Modell von Marktteilnehmern und Praktizierenden in Umgehung angewendet, die ihre Mängel vermeiden. Diese Arbeit beinhaltet die Anwendung beider Arten von Modellen und versucht, Preisfehlern zu entdecken und in einer empirischen Studie zu untersuchen, ob man dem anderen eine bestimmte Preis - und Absicherungseinstellung vorzieht. In Kapitel 3 beginnen wir mit einer Einführung in den Devisenmarkt und FX Plain Vanilla Optionen, die im Freiverkehr gehandelt werden (OTC). Diese Tatsache beeinflusst die gesammelten Daten, um die Marktpreise zu repräsentieren, die in diesem Fall von Bloomberg abgerufen werden, wo eine Arbitrage-freie Volatilitätsfläche aus einer Sammlung von Optionszitaten von mehreren Mitwirkenden, die die weltgrößten Finanzinstitute vertreten, gemeldet wird. Im Gegensatz zu börsengehandelten Optionen, die mit einem festen Fälligkeitsdatum und mit der Einleitung neuer Optionen nur zu festen Terminen zitiert werden, erhalten wir von Bloomberg eine ganze Reihe von neuen Optionen, die jeden Tag die gleiche Laufzeit reichen, mit dem Ablauf einer Tag später als die vorherigen Tage zitiert Optionen. 1 11 Kapitel 4 umfasst das Black-Scholes-Modell (BS) und seine Annahmen über lognorm verteilte Anlagenrenditen. Mit besonderem Interesse an der Preisgestaltung von FX-Optionen präsentieren wir die Garman-Kohlhagen-Formel, die eine einfache Erweiterung des BS-Modells ist. In diesem Kapitel stellen wir auch das Konzept der impliziten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und der risikoneutralen Bewertung vor. Schließlich präsentieren wir die Simulation des BS-Modells. In Kapitel 5 analysieren wir die Verteilung der FX-Log-Renditen unter Berücksichtigung einer Stichprobe der letzten Jahre Spot-FX-Raten und vergleichen dies mit der Annahme von log-normal verteilten Renditen im BS-Modell. Die Erkenntnisse hier inspirieren, um verschiedene Annahmen über die Verteilung der Log-Renditen zu berücksichtigen, was uns dazu führt, ein stochastisches Volatilitätsmodell im nächsten Kapitel einzuführen. Kapitel 6 führt dann den Prozess und die geschlossene Formularlösung zum Heston-Modell ein. Bei der Kalibrierung des Heston-Modells kalibrieren wir durch die numerische Integration zu dieser geschlossenen Formularlösung. Darüber hinaus stellen wir die Simulation des Heston-Modells vor, das in einem in einem Milstein-Schema simulierten Mischlösungs-Framework durchgeführt wird. Vor der empirischen Studie präsentieren wir das Kapitel 7, das die sehr FX-spezifischen Zitierungskonventionen erklärt. Umso umfangreicher als andere Optionsmärkte verfügt der FX-Optionsmarkt über eine breite Palette von möglichen Konventionen, die ordnungsgemäß gehandhabt werden müssen, um eine Volatilitätsoberfläche auf Basis der Anführungszeichen auf dem Markt aufbauen zu können. Genauer gesagt werden die Volatilitäten in Handelsstrukturen zitiert, die umgewandelt werden müssen. Darüber hinaus werden die Optionen in Delta in der Moneyness Dimension zitiert. Abhängig von der Delta-Konvention des spezifischen FX-Paares müssen wir eine numerische Schätztechnik verwenden, um den Streikpegel abzurufen. Kapitel 8 besteht aus einem Überblick über die in der empirischen Studie verwendeten Daten. In Kapitel 9 kalibrieren wir dann das BS-Modell und das Heston-Modell an jeden Tag von 371 Handelstagen im Zeitraum von 14 222011. Wir präsentieren die Zielfunktion und ihr erbliches Gewichtungsschema, das bei beiden Modellen üblich ist. Wir analysieren darüber hinaus die Empfindlichkeit der Flüchtigkeitsfläche auf die Veränderung der Heston-Parameter, indem wir zwei verschiedene Tage betrachten. Auch ein Vergleich zwischen der Fähigkeit der beiden Modelle, die beobachteten Marktpreise anzupassen, erfolgt durch die Berechnung der Güte der Passform für jedes Modell. In Kapitel 10 legen wir die Absicherungsstrategie vor, die aus einer dynamischen BS-Delta-Hedge besteht, die die im BS-Modell simulierte und im Heston-Modell simulierte implizite Volatilität aktualisiert. Genauer gesagt hedge eine Reihe von kurzgeschlossenen Call-Optionen mit unterschiedlichen Laufzeiten und Streiks. Wir identifizieren dann, welche Elemente den Wert des Hedging-Portfolios verändern. Schließlich stellen wir die Ergebnisse der Studie vor, die das BS-Modell als ein Werkzeug in der Interpolationsextrapolation der aktualisierenden 2 12 impliziten Volatilität mit dem Heston-Modell vergleichen, indem sie die Hedging-Performance der gleichen BS-Delta-Hedge vergleicht. 3 13 2 Problem Statement In dieser Studie betrachten wir die beiden FX-Paare EURUSD und USDJPY. Wir beginnen mit folgenden einleitenden Forschungsfragen: I. Wie werden die FX-Renditen unter Berücksichtigung eines Zeitraums der letzten Jahre verteilt. Wie verhält sich die Verteilung der FX-Renditen mit den Annahmen über log-normal verteilte Asset-Renditen im Black-Scholes-Modell. Wie aus (Reiswich und Wystrup, 2010) hervorgeht, sind das Smile-Bauverfahren und die Volatilitätszitiermechanismen FX-spezifisch und unterscheiden sich Deutlich von anderen Märkten. Marktteilnehmer, die in den Devisenmarkt der FX OTC eintreten, sind mit der Tatsache konfrontiert, dass das Volatilitätslächeln in der Regel nicht direkt am Markt beobachtbar ist. Im Gegensatz zu anderen Märkten wird das FX-Lächeln implizit als eine Reihe von Beschränkungen impliziert, die durch Marktinstrumente impliziert werden. Das führt uns zu der Frage: III. Wie gehen wir mit den FX-spezifischen Zitierungskonventionen um, um mit den Marktpreisen auf Plain-Vanille-Option zu enden. In einem sehr neueren Papier, das die Absicherungsstrategien zur Schätzung des Modellrisikos und der Bereitstellungskalkulation (Elices, 2011) eingestuft, untersuchen die Autoren die Absicherungsleistung des BS-Modells und die Vanna-Volga-Methode, indem sie davon ausgehen, dass die Marktvolatilitätsfläche von der Heston-Dynamik kalibriert wird Auf einen bestimmten Zeithorizont zu vermarkten. Die Hedging-Strategie wird dann gebaut, um die unsicheren Faktoren im Heston-Modell zu neutralisieren, die aus der Stelle und der Volatilität bestehen. In gleicher Weise setzen wir auf ein modellabhängiges Gebäude der Volatilitätsfläche durch Kalibrierung des BS-Modells bzw. des Heston-Modells auf die beobachteten Marktpreise. 4 14 IV. Wie gut das Black-Scholes - und das Heston-Modell eine Reihe von Marktpreisen auf Plain-Vanilla-Optionen über einen kürzlichen Zeitraum widerspiegeln. Dann verwenden wir diese Kalibrierungen, um zu untersuchen, wie gut eine reine Delta-Hedging-Strategie mit dem Delta berechnet wird BS Delta, ist in der Lage, die Auszahlung eines einfachen Vanille FX Call Option Vertrag zu replizieren. Wir schaffen eine Kulisse, bei der täglich während eines Zeitraums von 371 Handelstagen ein Satz europäischer Plain-Vanille-FX-Optionen mit unterschiedlichen Laufzeiten und Streiks verkauft wird. Durch die Delta-Absicherung jedes Optionsvertrages einzeln bis zum Ablauf, erhalten wir den Hedging-Fehler, den wir als Differenz zwischen der Auszahlung des Optionskontrakts und dem Hedging-Portfolio ausdrücken. Es werden zwei Experimente eingerichtet, bei denen wir das BS Delta dynamisch mit einer Aktualisierungsvolatilität aus dem Black-Scholes-Modell und einer aktualisierten impliziten Volatilität aus dem Heston-Modell berechnen. Dies führt zu den endgültigen Forschungsfragen: V. Die Anwendung einer dynamischen BS-Delta-Hedge mit der Aktualisierung der impliziten Volatilität unter der Annahme von Black-Scholes-Dynamik, was ist die Standardabweichung des Hedging-Fehlers für jeden Optionsvertrag VI. Die Anwendung einer dynamischen BS-Delta-Hedge mit der Aktualisierung der impliziten Volatilität unter der Annahme von Heston-zugrunde liegenden Dynamiken, was ist die Standardabweichung des Hedging-Fehlers für jeden Optionsvertrag VII. Ist das Ergebnis der Absicherung mit der Marktrendite korreliert 2.1 Forschungsansatz Wir weisen auf unsere Wahl des Forschungsansatzes in drei Bereichen der Arbeit hin: "Die Einbeziehung von zwei verschiedenen FX-Paaren, den Aufbau der impliziten Volatilitätsfläche und die Reichweite Der Optionspreise, um die implizite Volatilitätsfläche zu bauen. Wir beschließen, sowohl die EURUSD als auch die USDJPY in die Studie einzubeziehen, weil vor allem ein Grund. Die Zitierkonventionen für die beiden Paare sind unterschiedlich und durch die Einbeziehung von beiden zeigen wir, wie wir mit diesen verschiedenen Zitatkonventionen umgehen können. Neben diesem Grund hatte die Flüchtigkeitsfläche dieser beiden Paare historisch unterschiedliche Formen, wobei die EURUSD mehr ein symmetrisches Lächeln zeigte und die USDJPY einen Schrittversatz (Bossens, Rayee, Skantzos und Deelstra, 2010), (Beneder und Elkenbracht - Huizing, 2003), (Chalamandaris und Tsekrekos, 2008). Wie andere Studien ist dies ein Versuch, einen anderen Satz von Marktbedingungen zu decken (Bossens, Rayee, Skantzos und Deelstra, 2010). 5 15 Wir kalibrieren zu Rohdaten, wo vorher keine Interpolation oder Extrapolation stattgefunden hat. Alternativ könnten wir eine SVI-Parametrisierung (Gatheral, 2006) oder eine andere funktionale Form verwendet haben, um zuerst die Oberfläche zu bauen und dann zu einem Satz von interpolatedextrapolierten Preisen zu kalibrieren. Wir kalibrieren nur auf wenige Optionen, die 5 verschiedene Fälligkeiten und 5 verschiedene Streiks zählen. Dies geschieht aus zwei Gründen. Zuerst wollen wir nur auf Rohdaten kalibrieren, die noch nicht in Bloombergs eigenem Interpolationsschema interpoliert wurden, was man in (Bloomberg, 2011) sehen kann. Die Bloomberg-Interpolation basiert auf ATM-, 25 Delta - und 10 Delta-Anführungszeichen und falls vorhanden auch und 5 Delta (Bloomberg, 2009). Diese Tatsache stellt uns sicher, dass wir nur auf Rohdaten kalibrieren. Zweitens ist eine Menge Anstrengungen in die Entwicklung von Methoden gegangen, die in der Lage sind, die volle implizite Volatilitätsoberfläche mit nur wenigen Satz von Optionspreisen aufzubauen (Malz, 1997), (Castagna und Mercurio, 2006), (Reiswich und Wystrup, 2010). Auf einem OTC-Optionsmarkt sind oft nur wenige Preise verfügbar, und wir wollen diese Studie einschränken, um nur die Preise zu beinhalten, die am häufigsten verfügbar sind. Diese Arbeit verwendet den gleichen Bereich von Optionspreisen aus der gleichen Quelle wie in U. Wystrup und D. Reiswich s Artikel quotFX Volatility Smile Constructionquot (Reiswich und Wystrup, 2010) mit dem ATM, 10D RR, 25D RR, 10D VWB und 25D VWB-Zitate auf Bloomberg veröffentlicht. 2.2 Abgrenzung Die Arbeit ist in Bereichen begrenzt, in denen Ergänzungen mehr Genauigkeit und Detail in die Studie bringen würden. Um ein Preismodell für seine Misspecifikationen zu testen, konnte ein klassisches Hedging-Experiment wie das in (Bakshi, Cao und Chen, 1997) und (Elices, 2011) durchgeführt werden. Hier testen sie die Fähigkeit eines Modells, eine Optionsauszahlung zu replizieren, indem sie Positionen in allen Vermögenswerten einnimmt, die notwendig sind, um das Risiko mit dieser Zahl zu neutralisieren, abhängig von der Annahme des gegebenen Preismodells. Für das Heston-Modell bedeutet dies eine Position sowohl in der zugrunde liegenden als auch in einer anderen Option, um eine delta-neutrale Hedge zu erhalten. In dieser Arbeit beschränken wir uns, nur eine Position in einem Vermögenswert zu nehmen, der zugrunde liegende. So kann diese Studie nicht unter diese Art von konventionellen Ansatz eingestuft werden. Die Zinseinstellung in dieser Studie ist vereinfacht. Es gab keinen Bau einer Zinsfond-Struktur, die bei der Simulation der Optionspreise 6 16 Modelle verwendet werden soll. Wir haben auch keine Optionspreismodelle mit stochastischen Zinsen wie in (Bakshi, Cao und Chen, 1997) betrachtet. Auch vernachlässigen wir das Thema Ausfallrisiko in Zinssätzen, das heute nach den aktuellen Finanzkrisen ein warmes Thema ist. Kein Sprungmodell wurde als eine stochastische Volatilität betrachtet und springt in das zugrunde liegende (SVJ) Modell. Diese Typen von Modellen sind besser, um die Volatilitätsfläche kurzfristig im Vergleich zu einem stochastischen Volatilitätsmodell (Gatheral, 2006) zu reflektieren. In Anbetracht der beiden in dieser Studie enthaltenen FX-Paare und der Form ihrer jeweiligen Volatilitätsoberflächen konnte ein SVJ-Modell nicht einmal die Preisgestaltung im Vergleich zu einem stochastischen Vol. Modell. Die Forscher weisen auf eine notwendige Anpassung des Volatilitätszitats auf schrittweise schiefe Märkte hin (Reiswich und Wystrup, 2010), (Bossens, Rayee, Skantzos und Deelstra, 2010), (Castagna, 2010). Über die Zitatkonventionen auf dem Devisenoptionsmarkt und die Bedeutung der spezifischen Anpassung des vega gewichteten Schmetterlings (VWB) Zitat, wird folgendes gesagt. Eine Marktinkonsistenz, die in vielen Situationen und Konfigurationen von Preisen sicher vernachlässigt werden kann, aber einen tiefen Einfluss auf das flüchtige Oberflächengebäude in anderen haben kann. (Castagna, 2010, S. 116). Wir haben die Schätzungen einer solchen Anpassung ausgeschlossen. Wahrscheinlich ist die wichtigste Einschränkung dieser Studie die Anzahl der verwendeten Simulationen. Dies betrifft die Simulation des Heston-Modells und des BS-Modells im Hedging-Experiment. Die Präzision der Preisgestaltung im Heston-Modell konnte durch eine Erhöhung der Anzahl von Simulationen verbessert werden, was zu einer noch besseren Absicherung führt. 7 17 3 Der Devisenmarkt 3.1 FX Rate Ein Wechselkurs (FX Rate) ist der Preis einer Währung in Form einer anderen Währung. Die beiden Währungen machen ein Währungspaar. Als Beispiel könnte dies das Währungspaar sein, das mit EURUSD gekennzeichnet ist. Dies ist der Euro-Dollar-Wechselkurs und bis zum Ende des Handelstages am 1. Mai 2011 wurde dies zitiert. Dies ist die Konvention, wie man dieses Währungkreuz zitiert, aber es entspricht USDEUR. Das ist nur der reziproke Wert der ersten FX-Rate. Der Wechselkurs EURUSD bezeichnet, wie viele US-Dollar 1 Euro wert sind. Die inländische (numerische) Währung ist der US-Dollar und die ausländische (Basis-) Währung ist der Euro. Im Allgemeinen ist der Wechselkurs der Preis der Basiswährung in Bezug auf die numerische Währung. Das letzte Mal war ein US-Dollar mehr wert als ein Euro am 4. Dezember 2002, an welchem Tag der Wechselkurs zitiert wurde. Seit der Einführung der Euro-Münzen und Banknoten am 1. Januar 2002 war dies der einzige Jahr, dass der US-Dollar mehr wert war als der Euro, spiegelt sich in einem Wechselkurs weniger als FX-Forward-Vertrag Der Forward-Vertrag bietet eine Absicherung für jemanden, der den Wechselkurs für eine zukünftige Transaktion sperren will. Der Käufer eines Terminkontraktes ist dann ein zukünftiger Wechselkurs garantiert. Der Forward-Preis wird als F 0 S 0 e (rd r f) T (3.1) 8 18 Der zugrunde liegende Vermögenswert in diesen Verträgen ist eine bestimmte Anzahl von Anteilen der Fremdwährung. Die Variable S 0 ist definiert als der Spotpreis in Landeswährung einer Einheit der Fremdwährung und äquivalent F 0 ist der Terminkurs in Landeswährung einer Einheit der Fremdwährung. Sowohl inländische als auch ausländische Zinssätze sind die kontinuierlich zusammengesetzten risikofreien Zinssätze pro Jahr Zinssatzparität Gleichung 3.1 ist genau die Zinsparität, die in ihrer kontinuierlichen zusammengesetzten Form oft als F (t, T) S te rf (T. T) e rd (T t) (3.2) oder durch seine Geldmarktkonventionen für Kapitalisierung und Abzinsung, dh einfache Compoundierung (Castagna, 2010, S. 7) F (t, T) S t (1 rf) (T t) (Td) (3.3) wobei rf und rd die risikofreien Zinssätze pro Jahr und (Tt) sind, folgen der Zeitkonvention von 360 Handelstagen in einem Jahr. Entsprechend der Zinsparität wird der Terminkurs eines bestimmten Währungspaares durch die jeweiligen risikofreien Zinssätze bestimmt. Als Beispiel betrachten wir einen Inhaber einer Einheit von Fremdwährung. Es gibt zwei Möglichkeiten, dass dies zum Zeitpunkt T in eine inländische Währung umgewandelt werden kann. Man investiert es für (T t) Jahre bei r f und verkauft gleichzeitig einen Terminkontrakt. Dann zur Zeit T Sie wäre verpflichtet, die Erlöse aus der Investition zu verkaufen, um inländische Währung zu sammeln. Die andere Möglichkeit besteht darin, die Fremdwährung an den Spotmarkt zu heimischen zu tauschen und diese dann auf (d) für (T-t) Jahre zu investieren. In Abwesenheit von Arbitrage-Gelegenheiten sollte Gleichung 3.4 dann halten (Hull, 2008, S. 113), was genau Gleichung 3.2 umgeschrieben ist. (T t) F 0 S 0 e rd (T t) (3.4) Die hier dargestellte Zinsparität wird auch als abgedeckte Zinsparität gegenüber der ungedeckten Zinsparität (Oldfield und Messina, 1977) bezeichnet. Ersteres kommt aus der Tatsache, dass die Handelsstrategie risikofrei ist. Dies ist entgegengesetzt zu dem letzteren, wo man als Inhaber der Fremdwährung noch in rf investiert, sondern stattdessen 9 19 gleichzeitig in einen Terminkontrakt eintreten, halten Sie stattdessen Ihre Position in Fremdwährung aufgedeckt und der Bewegung im Wechselkurs ausgesetzt Von t bis (T t). Die empirische Forschung zeigt, dass für die entwickelten Länder die gedeckte Zinsparität recht gut ist. Prior to the dismantling of capital controls, and in many emerging markets today (interpreted as political risk associated with the possibility of governmental authorities placing restrictions on deposits located in different jurisdictions), the covered interest rate parity is unlikely to hold (Chinn, 2007). From an option pricing point of view the covered interest parity is an underlying assumption in one of the option pricing models introduced later on here. 3.3 FX options FX options are traded Over-The-Counter (OTC) as opposite to exchange traded options. As a trading platform an exchange serves as a link between a buyer and a seller. The exchange will be providing bid and ask quotes and will be on either one or the other end of the transaction. The market making is in this case carried out by the exchange. In the case of FX options there is no exchange involved in the transaction. A trade will be processed directly between buyer and seller. In one setting, one might think of a buyer being a corporation that is trading from a hedging or speculative point of view and the seller being a bank. On the FX options market one might think of the banks as market makers providing the prices on options and other FX derivatives. In order to hedge a foreign exchange exposure FX options are an alternative to FX forward contracts. The payoff from a long position in a European call option is max(s T K, 0) (3.5) and the payoff from a long position in a European put option is max(k S T, 0) (3.6) with S T being the spot exchange rate at maturity T of the option and K the agreed upon strike price. 10 20 Assuming we have the pair EURUSD, two counterparties entering into a plain vanilla FX option contract can agree on the following, according to the type of option traded: Type EUR call USD put: The buyer has the right to enter at expiry into a spot contract to buy (sell) the notional amount of EUR (USD), at the strike FX rate level K. Type EUR put USD call: The buyer has the right to enter at expiry into a spot contract to sell (buy) the notional amount of EUR (USD), at the strike FX rate level K. Considering, as an example, the last type listed above, an American company due to receive euro at a known time in the future can hedge its risk by buying put options on euro that mature at that time. This strategy guarantees that the value of the euros will not be less than the strike price while still allowing the company to benefit from any favorable upward movements in the exchange rate. Similarly, if the company where to pay euros in the future they could hedge their expose to upward movements in the exchange rate by buying calls on euros, the first type listed above. whereas forward contracts locks in the exchange rate for a future transaction and guarantees the parties an exchange rate, as described above, an option provides a type of insurance. It costs nothing to enter into a forward contract, whereas options require a premium to be paid paid up front in order to be insured. 11 21 4 The Black-Scholes model This chapter reviews the most well-known option pricing model, The Black-Scholes model (Black and Scholes, 1973), because of its inclusion in the empirical study. Also it remains the building block of present option pricing models, including the Heston model and the Bates model. 4.1 Geometric Brownian Motion Black-Scholes assumes the underlying spot price to follow a geometric Brownian motion generating log-normally distributed returns, the spot price in this case being the exchange rate on any given FX pair. The process is stochastic by including a Wiener process that introduces the randomness to the spot price. ds t micros t dt sigmas t dw S t (microdt sigmadw ) (4.1) The spot price S t depends on S t itself, a constant drift, micro, a constant volatility term, sigma, and a standard Wiener process, W t, where dt is denoting a time differential. In order to obtain the explicit solution to this stochastic differential equation (SDE) we consider equation 4.2 the process of logs, i. e. the process describing the log-returns. dlogs t (micro 1 2 sigma2 )dt sigmadz (4.2) i. e logs T logs 0 (micro 1 2 sigma2 )T sigmadz (4.3) 12 22 and the explicit solution is then obtained by taking the exponential of logs S T S 0 e (micro 1 2 sigma2 )T sigmaz T (4.4) 4.2 The Black-Scholes equation With the empirical study of this thesis in mind we have a look at the derivation of the Black-Scholes (BS) equation which is governing the BS option pricing formula. This will tell us the principle of delta hedging. Furthermore we take a look at the necessary adjustments to the Black Scholes equation in order to be able to price FX options in particular. As a note it is not in the interest of this thesis to go through the derivation of the solution to the BS equation that will lead to the BS formula. The Black-Scholes equation can be derived in many alternative ways i. e. using empirically established financial theories such as the CAPM and Arbitrage Pricing theory. The most general derivation assumes an economy with only the underlying asset and a risk-free money market depositrisk-free bond which together makes up the replicating portfolio of the value of the derivative. Meanwhile, the original derivation uses what is known as the hedging argument, and that is the derivation that we will outline here (Rouah, 2011). The derivation follows from imposing the condition that a risk-free portfolio made up of a position in the underlying asset and the option on that asset must return the same interest rate as other risk-free assets. As a result of this Black and Scholes propose that if it is possible to hedge an option position by dynamically rebalancing a stock position, then the price of a European call option should depend on the underlying spot price, S t (i. e. the FX rate), and the time to maturity on the option, T. In order to perform such a hedge Black and Scholes assumes a set of conditions to hold that they call the ideal market condition: The FX rate, S t, follows the geometric Brownian motion with known constant drift, micro, and volatility, sigma. The option can be exercised only at maturity. Trading takes place continuously in time. Money can be borrowed and lend at the same risk-free interest rate. Short selling is allowed. 13 23 Short-term risk-free interest rates (r d and r f ) are known and constant. The underlying asset pays no dividends. (This assumption is relaxed in the case of FX options.) We consider a portfolio made up of a quantity of the risky asset (i. e. the FX pair) and short one option on the FX pair (a put or a call, not yet specified). Let f(s, t) denote the value of the option and Pi(t) the value of the portfolio. Pi(t) S f(s, t) (4.5) is chosen at every time t so as to make the portfolio riskless. The self-financing assumption implies that dpi(t) ds df(s, t) (4.6) In order to decide the quantity to meet this condition we want to know the dynamics of f(s, t). Here we use Ito s Lemma, which is a rule for calculating differentials of quantities dependent on stochastic processes. df(s, t) f f dt t S ds sigma2 S 2 2 f dt (4.7) S2 and by plugging in 4.7 into 4.6 we get dpi ds ( f f dt t S ds sigma2 S 2 2 f S )dt 2 ( f )ds ( f S t sigma2 S 2 2 f )dt (4.8) S2 observing that the term ds is the only risky element to the portfolio value, we can eliminate this by setting which is satisfied if ( f S ) 0 f S (4.9) Then we have constructed a risk-free portfolio with the dynamics given in the last part of 4.8 and by a no arbitrage argument the portfolio must yield the risk-free interest rate, i. e. 14 24 dpi rpidt (4.10) Plugging the risk-free dynamics of the option value in 4.8 and the first equation 4.5 into 4.10 and rewrittin, we get the BS equation in ( f t sigma2 S 2 2 f f )dt r( S f(s, t))dt S2 S f t 1 2 sigma2 S 2 2 f f r( S f(s, t)) S2 S f t sigma2 S 2 2 f S r f S rf 0 (4.11) 2 S The derivation stipulates that in order to hedge the single option, we need to hold a quantity of the FX pair, which turns out to be the quantity f. This is the S principle behind delta hedging. Any price of a derivative with the same assumed process for the underlying as in equation 4.1 has to follow the BS equation. the equation has many solutions for the derivative price, f, where the particular price that is obtained depends on the payoff function of the given derivative. In the case of a European callput the solution is obtained in the BS formula, but for more complex payoff functions accompanied by more exotic options the analytical solution may be hard to obtain. 4.3 The Garman-Kohlhagen formula In the same year 1973 as the Black and Scholes paper was published the pricing model was quickly adjusted to include dividend paying stocks by Merton (1973). Robert C. Merton further concludes in this paper that the assumption of lognormally distributed returns and continuous trading is critical to the model. Without these, the delta hedge would not give a perfect hedge, thus making the arbitrage argument invalid. Many years later after the FX options was first listed on the Philadelphia Stock Exchange in 1982 (Exchange, 2004), the pricing model was adjusted to also be able to price FX plain vanilla options (Garman and Kohlhagen, 1983). Under similar assumptions as in Black-Scholes, that it is possible to operate a perfect local hedge between a FX option and underlying foreign exchange, Garman and Kohlhagen derive a PDE. One of the insights is that the risk-free interest rate of foreign currency r f has the same impact on the FX option price as the continuous dividend yield on the stock option. The main contribution is to combine the Black-Scholes model with the interest rate parity theory, as presented in the 15 25 beginning of this thesis. More precisely, by assuming the covered interest rate parity to hold and the underlying FX rate to follow a geometric brownian motion, the logarithmic difference between the forward, F (t, T ), and the spot, S(t), FX rates can be explained by the spread between the domestic risk-free interest rate, r d, and the foreign risk-free interest rate, r f. The resulting pricing formula for a call option in equation 4.12 is presented in its forward rate form, where the forward rate is explicitly present in the formula. This is a Black model (Black, 1976) (adjusted to price FX options), which is a variation of the original BS model and can be generalized into a class of models known as log-normal forward models. The adaption of the covered interest rate parity into the option pricing formula becomes apparent when we compare the calculation of the forward rate in Equation 4.12 to Equation 3.2. c e rd (t, t )tau) F (t, T )phi(d 1 ) Kphi(d 2 ) (4.12) d 1 F (t, t ) ln( ) 1 K 2 sigma2 tau sigma tau d 2 d 1 sigma tau F (t, T ) S t e rf (t, t )tau e rd (t, t )tau with the the equivalent spot rate form of the Garman-Kohlhagen formula c S 0 e rf (t, t )tau phi(d 1 ) Ke rd (t, t )tau phi(d 2 ) (4.13) d 1 ln( S 0 K ) (rd (t, T ) r f (t, T ) sigma2 )tau sigma tau d 2 d 1 sigma tau The foreign and domestic interest rates are risk-free and constant over the term of the option s life. All interest rates are expressed as continuously compounded rates Implied Probability Density Functions In order to establish a link between the observed option prices in the market and the characteristic shapes of the volatility surface we mention the implied risk-neutral density function (RND). 16 26 The RND in the Black-Scholes model is assumed to be lognormal with mean (r d r f v 2 2)(T t) and variance v 2 (T t). The price of an undiscounted call option is given by C(S 0, K, T ) Emax (4.14) K (s K) phi(s T, S 0 )ds (4.15) where phi(s T, S 0 ) in (4.15) is the probability density function of S T. This is a general pricing formula independent of the choice of pricing model. Pricing an option in this framework requires the knowledge of the probability density function, which is the distribution of the future spot prices. (Breeden and Litzenberger, 1978) found that provided a continuum of European call options with same maturity and a strike range going from zero to infinity written on a single underlying FX pair, we can recover the RND in a unique way by differentiating (4.15) with respect to K twice Risk-neutral valuation C K phi(s T, S 0 )ds (4.16) K 2 C K phi(s T, S 0)ds (4.17) 2 Another approach to find the price of a derivative is by risk neutral valuation or equivalently by the Martingale approach. The equivalence between the PDE approach and the risk neutral valuation is guaranteed by Feynman-Kac by establishing a link between PDEs and stochastic processes. The solution to the Garman-Kohlhagen equation can also be expressed in terms of an expectation. By the Feynman-Kac theorem we have V (S t, t) E Q e T t rs dds V (S T, T ) (4.18) where S t is the solution to the SDE (4.1) with micro r d r f. The drift is risk neutral and consists of the continuously compounded domestic interest rate net of the foreign interest rate. What (4.18) says is that the value of a contingent claim (a claim that is dependant on the underlying value) like a European option, can be calculated by finding the risk neutral expectation of the discounted terminal payoff. The terminal payoff is discounted by the domestic interest rate and the risk neutral 17 27 expectation and the Q measure involves the process of S T to evolve not as original but risk neutrally. To recapitulate the general pricing framework above, there is a connection between the existence of a replication portfolio replicating the final value of the option, and the existence of a equivalent martingale measure. They both guarantee an arbitrage-free price. This can be calculated as the current value of the replication portfolio, or as the expected value of the discounted terminal payoff of the option calculated under the risk-neutral probability measure. 4.4 Simulation of the Black-Scholes model We consider the risk neutral process in Equation (4.19) and compute the risk neutral expectation of the terminal payoff as suggested by the Feyman-Kac theorem. ds t (r d t r f t )S t dt sigma t S t dw (4.19) 18 28 5 Empirical facts 5.1 The distribution of FX returns Empirically we observe a departure from the normality assumption in the Black - Scholes model when we have a look at the distribution of log returns on EURUSD and USDJPY. In figures 5.1 and 5.2 the frequency distributions of two samples of daily log returns from 162006-532011 is pictured. A lognormal distribution with the same mean and standard deviation as the implied distribution is depicted by the solid line. The empirical distributions are highly peaked compared to the normal distribution. Furthermore from figures 5.3 and 5.4, which depict a Q-Q plot of the log returns vs. a normal distribution, we can observe that the empirical distributions of log returns does in fact exhibit fat tails and clearly deviates from the normality assumption. From the visual evidence of a highly peaked and fat tailed distribution (leptokurtic), we can conclude that small and large movements in the empirical samples occur more likely compared to normally distributed log returns. By looking at figures 5.5 and 5.6, where we plot the daily log returns of EURUSD and USDJPY, we see that large moves follow large moves (both up and down) and small moves follow small moves (both up and down). This is the so-called volatility clustering, where we observe that high and low volatility is clustered around certain time periods. This observation indicates autocorrelation, which is confirmed in Figures. -. Here the autocorrelations of absolute returns are estimated where all lags included is significantly positive. In addition to this, Figures 5.9 and 5.10 demonstrates mean reversion in the log returns by showing how volatility evens out when measured over a longer horizon. 19 29 Sample frequency Daily log - return EURUSD Sample frequency Daily log - return USDJPY Figure 5.1: Empirical sample frequency for EURUSD Figure 5.2: Empirical sample frequency for USDJPY 0.04 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal 0.06 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal Quantiles of Input Sample Quantiles of Input Sample Standard Normal Quantiles Standard Normal Quantiles Figure 5.3: Q-Q plot for EURUSD Figure 5.4: Q-Q plot for USDJPY Daily log return 0.06 EURUSD Year Daily log return 0.06 USDJPY Year Figure 5.5: Daily log returns for EU - RUSD Figure 5.6: Daily log returns for USD - JPY Sample Autocorrelation Function Sample Autocorrelation Function Sample Autocorrelation Sample Autocorrelation Lag Lag Figure 5.7: RUSD Autocorrelation for EU - Figure 5.8: Autocorrelation for USD - JPY 20 30 Historic vola, lity 0.3 EURUSD Year 3 month 1 year Historic vola, lity 0.35 USDJPY Year 3 month 1 year Figure 5.9: Rolling historic volatility for EURUSD Figure 5.10: Rolling historic volatility for USDJPY Jarque-Bera To confirm our results and to find further evidence against the normality assumption underlying the Black-Scholes model we make use of the Jarque-Bera test (Jarque and Bera, 1987). Based on the sample kurtosis and skewness we test the null hypothesis that the data is drawn from a normal distribution. The null hypothesis is a joint hypothesis of the skewness being 0 and the excess kurtosis being 0, which in the latter case is the same as a kurtosis of 3. The overall conclusion by looking into tabel 5.1, when considering the full sample of log returns, is that we clearly reject the null hypothesis, that the sample data is from a normal distribution, in both the EURUSD and USDJPY case. This conclusion comes with a high degree of certainty with a significance level below 0.1. When we then have a look at the separate years considering first the EURUSD, we are able to reject in 3 out of 6 years at a significance level of 5.0, whereas for the USDJPY case this is 4 out of 6 years. When looking into the estimates of the overall skewness and kurtosis and comparing the two pairs, one observes that in terms of skewness the EURUSD deviates the most from a normal, whereas in terms of kurtosis it is the USDJPY that deviates the most from the normal. These differences in skewness and kurtosis between the two pairs is somewhat visual in figures 5.1 and 5.2 from before. Comparing the tails of the frequency distributions one might see that the EURUSD log returns has a longer right tail exhibiting more positive skewness whereas the USDJPY log returns has a longer left tail exhibiting more negative skewness (Even though apparently not enough for the full sample to be negatively skewed). Both distributions though are on an overall scale slightly positively distributed meaning that most values are concentrated on the left of the mean, with extreme values to the right (as opposite to negatively skewed distributions, where most values are concentrated on the right of the mean, with extreme values to the left). The difference in the kurtosis of the two pairs of log returns is also somewhat visual from the figures 5.3 and 5.4 from before, where the USDJPY 21 31 EURUSD Table 5.1: Jarque-Bera test on normality USDJPY period skewness excess kurtosis JB sign. level skewness excess JB sign. level gt lt 0.100 lt 0.100 lt 0.100 gt lt 0.100 gt lt 0.100 lt 0.100 log returns seems to exhibit the most kurtosis. The test statistic JB is defined as JB n 6 (S K2 ) (5.1) where n is the number of observations, S is the sample skewness in Equation 5.2 and K is the sample excess kurtosis in Equation 5.3. S circmicro 3 circsigma 3 1 n n i1 (x i x) 3 ( 1 n n i1 (x i x) 2 ) 3 2 (5.2) K circmicro 4 circsigma 4 3 1 n ( 1 n n i1 (x i x) 4 n i1 (x i x) 2 ) 3 (5.3) 2 where circmicro 3 and circmicro 4 are the estimates of the third and fourth central moments, respectively, x is the sample mean and circsigma is the estimate of the second central moment, the variance. 22 32 5.1.2 Levene Excess kurtosis might indicate heteroscedastic returns, where homoscedastic returns is the assumption underlying the Black amp Scholes model. We therefore perform the Levene s test of homoscedatic returns, where the null hypothesis is that the variance of two successive subsamples are equal as well as the variances of all subsamples. Considering the latter we strongly reject the hypothesis that the variance in the subsamples are constant thus violating the assumption in the Black Scholes model. Comparing the individual successive yearly subsamples, in the case of the EURUSD we are able to reject in 2 out of 5 cases at a significance level of 5. In the case of the USDJPY this is 4 out of 5 cases in correspondence with the superior excess kurtosis compared to the EURUSD case. Table 5.2: Levene s test on equality of variances EURUSD USDJPY period 1 period 2 volatility 1 volatility 2 Levene sig. level volatility 1 volatility 2 Levene sig. level 6.16 0.859 7.83 9.62 1.244 13.78 0.000 9.62 16.18 0.000 12.03 9.691 16.18 12.68 1.659 11.76 12.68 10.36 2.458 9.85 7.890 10.36 9.87 0.000 23 33 6 The Heston model The most well-known and popular of all stochastic volatility models is the Heston model (Gatheral, 2006) and was presented in (Heston, 1993). 6.1 The process The process followed by the underlying asset in the Heston model is with ds t micros t dt v t S t dw (1) t (6.1) dv t kappa(v t theta)dt eta v t dw (2) t (6.2) dw (1) t dw (2) t rhodt where kappa is the rate of reversion of v t to the long run variance, theta, eta is the volatility of volatility and rho is the correlation between the two stochastic increments of the processes dw (1) t and dw (2) t. The process of the underlying in (6.1) is the same process assumed in the Black Scholes model presented in (4.1) only now the volatility is stochastic. That is, another random factor is introduced by dw (2) t. What defines the specific process of the underlying in the Heston model compared to the general case of stochastic volatility models is dv t alpha(s t, v t, t)dt etabeta(s t, v t, t) v t dw (2) t (6.3) alpha(s t, v t, t) kappa(v t theta) beta(s t, v t, t) 1 24 34 where the process followed by the instantaneous variance, v t, can be categorized as a version of the square root process (CIR) in (Cox, Ingersoll Jr, and Ross, 1985). Given that the Feller condition in equation (6.4) is satisfied the variance process is always strictly positive. (Anderson, 2005) shows that this condition is often violated when calibrating the Heston model to market data. 2kappatheta eta 2 (6.4) What makes the Heston stochastic volatility model stand out from other stochastic volatility models can be adressed to two reasons. First, the volatility process is non-negative and mean reverting which is what we observe in the market. Secondly, The Heston model has a semi-analytical closed form solution for European option, which is fast and relatively easy to implement. The closed form solution is especially useful when calibrating the parameters in the model to the observed vanilla option market. This efficient computational ability of the model is characterised as the greatest advantage of the model over other potentially more realistic SV models (Janek, Kluge, Weron, and Wystup, 2010). Furthermore, after adapting the model to a FX setting, the model is described as being particular useful in explaining the volatility smile found in FX markets often characterised by a more symmetrical smile when comparing to equity markets where the structure is a strongly asymmetric skew as a consequence of the leverage effect on these markets(janek, Kluge, Weron, and Wystup, 2010). 6.2 The solution The PDE of the Heston model can be derived using the same approach as when we derive the PDE for the BS model where standard arbitrage arguments is used. In addition to the replication portfolio used to derive the BS model another asset in the form of an option is added in order to hedge the randomness introduced by the stochastic volatility. The following PDE can then be derived V t vs2 2 V S 2 rhoetavs 2 V v S eta2 v 2 V v 2 V rs S rv V v 0 (6.5) where lambda(s, v, t) is the market price of volatility risk. The closed-form solution of a European call option on an FX pair for the Heston model is S t P 1 Ke (r d r f )(T t) P 2 (6.6) 25
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